Предложенные выше формулы являются решением обратной задачи атмосферной оптики для принятой модели слоистообразной облачности. Согласно работе [42] для проверки решения на корректность необходимо проанализировать область непрерывности полученных функций.

Для формул (6.1.1) соответствующий анализ непрерывности и положительности функции s²  0 с учетом естественного условия F(0) F(₀) приводят к неравенствам :

· при значениях > 0,3

(6.3.1)

· и при значениях > 0,9

(6.3.2)

Конкретные численные значения параметров, обеспечивающие непрерывность и положительность функции s², различны для каждой измеренной пары величин потоков на одном уровне и одной длине волны. Поэтому перед тем, как применять формулы (6.1.1) к результатам измерений потоков на верхней и нижней границе облачного слоя, необходимо проанализировать экспериментальные данные на выполнение указанных неравенств. Соответствующие процедуры предусмотрены в алгоритмах обработки данных наблюдений согласно специально разработанным методикам, описанным в предыдущих разделах.

Погрешности использования полученных формул и область их применимости

При использовании предложенных нами формул для определения оптических характеристик реального облачного слоя необходимо выделить четыре источника погрешностей:

1) погрешности измерений;
2) априорное задание параметра g;
3) нарушение области применимости асимптотических формул;
4) неоднородность облачного слоя, в то время как формулы получены для однородного по вертикали слоя (при рассмотрении данных измерений внутри облачного слоя) .

Так как для расчета оптических параметров мы имеем аналитические выражения, то для оценки значений относительных погрешностей s/s и ₀/₀, вызванных погрешностями измерений, легко получить выражения для этих погрешностей, применяя методику, описанную в разделе 4.3. А именно, если потоки солнечной радиации F­ и F на верхней и нижней границах облачного слоя измеряются с погрешностями измерений F, а оптические параметры вычисляются по формулам (6.1.1), то формула для относительной погрешности величины s принимает вид [18,20]:

,

(6.3.3)

а для относительной погрешности величины t0 имеем :

(6.3.4)

где F – абсолютная погрешность измерений потоков (в единицах S); остальные обозначения даны выше.

Величина 1- F­ - F определяет величину лучистого притока энергии в единицах S в слое. В коротковолновом диапазоне спектра она обычно находится в пределах 0,05 - 0,15. Тогда первое слагаемое в выражении (6.5.3) определяет порядок погрешности величины s, а именно, при F~0,002 имеем s/s  4%. Величина погрешности g/(1-g), входящей в выражение (6.3.4), вызвана вторым источником погрешностей и зависит от того, насколько хорошо априорное модельное значение параметра индикатрисы соответствует оптическим свойствам исследуемого облака. Согласно результатам работы [16], где по теории Ми были рассчитаны спектральные значения величины g для восьми моделей облачности, примем величину g = 0,85. На основе анализа результатов модельных расчетов [18] можно заключить, что вариации параметра g в видимой области не превосходят 2%.

Абсолютные погрешности расчета функций u₀() и a₂() вызваны двумя причинами: неточным определением зенитного угла Солнца и тем, что на верхнюю границу облака падает поток частично рассеянный вышележащим слоем атмосферы и выступающими из слоя облаками. Первая причина – измерение зенитного угла – не вносит существенной ошибки, так как при измерениях географическое положение и время проведения эксперимента обычно фиксируются весьма точно, что определяет зенитный угол Солнца с высокой точностью. Что касается второй причины, то проведем следующие рассуждения для ее оценки. В монографии [13] показано, что доля рассеянной радиации в безоблачной атмосфере составляет около 0,2 суммарного потока. Полностью диффузному излучению вместо функции u₀() соответствует величина Q₀ = 1, а вместо a₂() – величина 6 8,5. С учетом этого получим: u₀ ~ 0,02 и a₂ ~ 0,2, причем эти величины зависят от зенитного угла Солнца и минимальны при косинусе этого угла = 0,6–0,7. Это условие желательно выполнять при проведении измерений с целью определения оптических параметров слоистообразной облачности. Погрешность величины ₀  в основном определяется погрешностью определения s и неопределенностью задания параметра индикатрисы рассеяния g. В случае облаков большой оптической толщины 1-ый член второго из соотношений (6.3.4) может быть малым и слабо влиять на величину погрешности.

Погрешности формул (6.1.4) – (6.1.6), вызванные погрешностью измерений, определяются согласно результатам раздела 5.3, а именно, если y = f(x₁,x₂,...x_n), то

,

где x_i средние квадратичные отклонения измеряемых или таблично заданных величин. Вычисляя соответствующие производные и учитывая величину случайной погрешности измерения потоков ~1–3вт/м² (табл. 3.1), имеем s/s0,05. Относительная погрешность определения величины 1-₀ определяется из соотношения 1-₀=3s²(1-g), и формула расчета погрешности имеет вид [27]

(1-0)/(1-0) =2s/s+g/(1-g).

(6.3.5)

Учитывая, что величина s 0,05, получим оценку: (1-₀)/(1-₀) 0,12.

Относительная погрешность результатов расчета по формулам (6.1.6) – (6.1.8) для оптической толщины оценивается выражением [26]:

0/0  ~ 2F/[s(F-F­)(1-g)] + s/s + g/(1-g).

(6.3.6)

Величина первых двух слагаемых в формуле (6.3.6) определяется значениями погрешностей измерений и применения формул для определения s, которая составляет около 15%, еще 2% добавляет погрешность g/(1-g), таким образом, величина суммарной погрешности восстановления оптической толщины облачного слоя составляет примерно17%.

Анализ погрешностей в случае интерпретации потоков только отраженной или только пропущенной радиации (6.1.16) и (6.1.17) приводит к заключению, что в этом случае необходима стабильность облачного слоя в течение времени измерений. Однако согласно анализу, проведенному в работе [7], использование потоков для решения обратной задачи дает бóльшую точность, чем использование интенсивностей. Погрешности s/s и ₀/₀  в случае использования данных измерений отраженных потоков рассчитываются по формулам:

(6.3.7)

В случае интерпретации результатов измерений потоков пропущенной радиации выражения для погрешностей s/s и ₀ /₀  имеют вид:

(6.3.8)

где

Оценка по приведенным формулам приводит к погрешностям определения оптических параметров из данных измерений потока отраженной радиации s/s~8% и ₀ /₀  ~ 10% а для случая пропущенной радиации погрешности составляют соответственно 6% и 10% при погрешности измерений 2%.

Область применимости полученных формул

Как уже подчеркивалось выше, при анализе погрешностей асимптотических формул основные ограничения, связанные с установлением диффузного режима, накладываются на величину оптической толщины снизу. Ограничения на величину истинного поглощения радиации в среде возникают вследствие применения разложений по малому параметру для расчета асимптотических констант. Кроме того, очевидно, что при очень большой оптической толщине (приближающейся к бесконечной) встретятся трудности при определении ₀ из измерений отраженной радиации, потому что измеренное значение будет мало отличаться от значения плоского альбедо полубесконечной среды. Численная оценка приводит к ограничению сверху ₀  > 200. Такие величины оптической толщины маловероятны в земной атмосфере, но возможно могут осуществляться в атмосферах других планет. Область применимости формул (6.2.1) была исследована в работах [19, 27-29, 36]. Результаты расчетов потоков радиации методом сложения слоев для широкого набора параметров моделей [43] служили основой для восстановления этих параметров с применением приведенных выше формул (6.1.1). Восстановленные значения параметров сравнивались с модельными значениями и рассчитывались соответствующие относительные погрешности. Всего было проанализировано около 50 численных моделей для определения погрешностей представленных в этой главе методик. Величина относительных погрешностей определения величин 1-₀ и ₀  в зависимости от их численных значений представлена на рис. 6.3 и 6.4. При этом была зафиксированы величины параметров ₀ = 25 и ₀ = 0,999. Подчеркнем, что при этой проверке исследовались только погрешности формул, вызванные нарушением области применимости. Модельные значения потоков радиации, подставляемые в проверяемые формулы, считались точными.

Для оценки влияния вертикальной неоднородности облачного слоя на точность восстановления оптических параметров по формулам (6.1.3) – (6.1.8) они были применены к результатам расчетов для модели неоднородного слоя, представленной в виде набора 5 подслоев, различающихся оптическими свойствами. Потоки рассеянного излучения на границах каждого из подслоев были рассчитаны также методом сложения слоев

Рисунок 6.5. Погрешности определения оптических параметров ₀/₀ (сплошная линия) и (1-₀)/(1-₀) (пунктирная линия) в зависимости от значений величины ₀, при t0=25.

Рисунок 6.6. Погрешности определения оптических параметров
(1-₀)/(1-₀) (сплошная линия) и ₀/₀ (пунктирная линия) в зависимости от значений величины ₀ при ₀=0,999.

В табл. 6.3 приведены значения исходных оптических параметров, значения параметров, определенных по предложенному выше методу, и погрешности восстановления величин s и '. Здесь же представлены результаты для двух случаев однородного слоя, оптическая толщина которого равна толщине неоднородного, альбедо однократного рассеяния и параметр индикатрисы равны значениям соответствующих параметров в неоднородном слое. Из таблицы следует, что вертикальная неоднородность не вносит значительного вклада в погрешность результата восстановления оптических параметров из данных измерений внутри облачного слоя, так как она не превосходит погрешности, связанной с областью применимости асимптотик.

Таблица 6.3.
Влияние вертикальной неоднородности рассеивающего слоя на точность восстановления его оптических характеристик

Значения относительных погрешностей восстановления оптических характеристик для неоднородного и однородного слоев мало отличаются друг от друга. Высокие значения погрешностей для подслоев 4 и 5 в случае неоднородного слоя объясняются сильным поглощением радиации в этих подслоях (₀=0,95 и 0,93), что нарушает область применимости используемых формул.