Выше мы рассматривали, в основном, математические аспекты решения обратных задач. Однако, помимо наличия формально ‑ математических алгоритмов, большое значение имеет анализ физического смысла полученных результатов, в частности, для обратных задач атмосферной оптики, ответ на вопрос, насколько соответствуют восстановленные параметры реальным их значениям, имевшим место в атмосфере в момент измерений. Достаточно четкий и однозначный ответ на этот вопрос дает сравнение результатов решения обратной задачи с результатами прямых измерений восстанавливаемых параметров. Однако в общем случае возможности параллельных прямых измерений ограничены чисто технически. Например, если речь идет о самолетных измерениях, то одновременно с потоками и интенсивностями следовало бы измерять вертикальные профили температуры, концентраций поглощающих излучение газов и различных параметров аэрозоля, а такой возможности не было. Еще хуже дело обстоит со спутниковыми измерениями, где необходимы специальные одновременные самолетные измерения указанных параметров, что требует создания и финансирования научных программ на государственном уровне. Поэтому одновременные прямые измерения для проверки восстанавливаемых параметров являются очень затратными с экономической точки зрения. В этой связи упомянем подход, предложенный в [22], где в общую величину, из условия минимума которой получается решение обратной задачи, предложено включать и затраты на техническое решение задачи (стоимость приборов, экспериментов и их обработки). При такой постановке, оптимальными являются не измерения, обеспечивающие максимальную точность восстановления параметров, а измерения, где достигается требуемый компромисс между точностью и необходимыми для ее получения затратами. Заметим еще, что проверка решения обратной задачи путем сравнения с независимыми измерениями, строго говоря, имеет смысл только для прямых измерений. Если же параметры получены также из решения обратной задачи, можно говорить лишь о сравнении аппаратуры и методик.

Учитывая указанные выше сложности, а также то, что реально для обработанных зондировок никаких прямых одновременных измерений параметров атмосферы выполнено не было, рассмотрим далее задачу анализа адекватности решения обратной задачи теоретическими средствами. В сущности, подобный план и был намечен в разделе 4.1.

Как сами измерения, так и решение прямой задачи содержат систематические погрешности. Их наличие, очевидно, приведет к тому, что минимум невязки (Y, (X)), достигнутый при решении обратной задачи, будет не соответствовать минимуму невязки истинных значений измерений и решения прямой задачи. Учитывая, что в формулах раздела 4.2 и раздела 4.3 искомые параметры выражаются через разность измерений и решения прямой задачи линейно, т.е. X = A(Y - ),  где A – некоторый линейный “решающий” оператор, и записывая Y=Y'+,  ='+,где Y' – истинное среднее значение измеряемой величины, – абсолютно точное решение прямой задачи, Y,  – соответствующие систематические погрешности измерений и расчетов, получим X = A(Y' - ') + A(Y - ). Первое слагаемое есть искомое адекватное значение X, но наличие второго означает искажение его систематическим смещением. Поскольку случайная погрешность измерений приводит к получению параметров X также со случайной погрешностью, оценивать указанное систематическое смещение следует исходя из сравнения его со случайной погрешностью X. Очевидно, что если систематическое смещение одного порядка по величине со случайной погрешностью восстановления или превосходит ее, то результат, без учета смещения будет недостоверным. На практике удобно сравнивать не ошибки восстановления, а ошибки измерений и решения прямой задачи [29].

Систематические погрешности измерений, как правило, всегда много меньше случайных, поэтому основной интерес представляет величина . Простой рецепт ее учета приведен в [29]: если она существенно меньше случайной погрешности измерений, то учет   не требуется, в противном случае следует добавить ее к случайной погрешности. При таком добавлении измерения станут менее точными, это приведет к соответствующему увеличению случайной погрешности, т.е. СКО, восстановленных параметров, и систематическое смещение не приведет к выходу X за допустимые границы определенного доверительного интервала. Таким образом, достоверность результата достигается за счет увеличения его СКО. Этот факт нередко тяжело принять психологически, особенно в рамках традиционной для технологии измерений борьбы за точность, однако, в сущности, он очевиден: в обобщенном виде при решении обратных задач измерения – это не только показания приборов, но и результаты их численного моделирования, соответственно на точность “обобщенных” измерений влияют оба указанных процесса. На основе подобных рассуждений в [29] сделан вывод о наличии некоторого предела повышения точности измерений, обусловленного возможностями современных методов решения прямых задач атмосферной оптики, за которым дальнейший рост точности становится бесполезным (но, подчеркнем, только в рамках рассматриваемого подхода к решению обратных задач).

Для уменьшения погрешности   решения прямой задачи, ее алгоритм, очевидно, должен максимально точно и полно учитывать все факторы, влияющие на перенос излучения. Однако подобный алгоритм может оказаться весьма сложным и громоздким для практического применения. Кроме того, к алгоритмам и компьютерным кодам для решения обратных задач, особенно в системах оперативной обработки данных, часто предъявляются жесткие требования по скорости работы и занимаемым ресурсам ЭВМ. В таких случаях неизбежно использование при описании переноса излучения различных упрощений и приближений. Все это приводит к необходимости разработки и реализации при решении обратных задач атмосферной оптики двух алгоритмов: эталонного, достаточно точно и подробно решающего прямую задачу и рабочего, решающего ее исходя из конкретных технических требований и возможностей (в пределе, рабочий алгоритм может совпадать с эталонным, но реально так почти никогда не бывает). В качестве оценки точности решения прямой задачи  следует брать оценку точности используемых в рабочем алгоритме упрощений и приближений, полученную путем сравнения соответствующих результатов рабочего и эталонного алгоритма.

Весьма важным вопросом в плане оценки точности решения прямой задачи, является выбор набора параметров X, подлежащих восстановлению. На практике общий выбор восстанавливаемых параметров всегда очевиден и определяется собственно задачами, для которых планировался эксперимент. В частности обратной задачей атмосферной оптики, сформулированной относительно параметров атмосферы [1], является определение вертикальных профилей температуры, концентраций поглощающих излучение газов, характеристик атмосферных аэрозолей, параметров поверхности. Однако, как отмечалось в разделе 4.1, реально алгоритм решения прямой задачи зависит от более широкого набора параметров. Даже существенно более широкого, например, для вычисления объемного коэффициента молекулярного поглощения необходимы параметры отдельных линий поглощения атмосферных газов – см. раздел 1.2. Но ведь все без исключения параметры решения прямой задачи (все компоненты вектора U) известны не абсолютно точно, а с некоторой погрешностью. Поэтому проблему общего выбора восстанавливаемых параметров X можно сформулировать так: следует выбрать не только сам вектор X, но и учесть влияние погрешности задания параметров, значения которых считаются известными, т.е. U X.

Формально сформулированная выше задача учета погрешности компонент U X решается элементарно. Действительно, положим X=U, т.е. будем считать неизвестными вообще все параметры прямой задачи. Тогда используя метод статистической регуляризации и задав для X=U априорные средние и ковариационную матрицу, мы после решения обратной задачи получим аналогичные апостериорные параметры, причем решение будет зависеть от априорной ковариационной матрицы, в частности апостериорные СКО будут зависеть от априорных. Таким образом, мы корректно учтем влияние на решение обратной задачи априорной неопределенности всех без исключения параметров прямой. Далее, при анализе результатов, мы можем разделить вектор X=U на две части: X⁽¹⁾ – собственно восстановленные параметры (т.е. анализ которых имеет физический смысл) и X⁽²⁾ – параметры, погрешность задания исходных значений которых корректно учтена.

Но на практике такой подход невыполним, достаточно прикинуть, например, число параметров, описывающих молекулярные линии поглощения. Поэтому всегда поступают иначе. Включают в X только набор параметров, значения которых исходно не определены, а остальные U X считают заданными точно. Влияние же погрешности задания U X оценивают по зависимости от нее точности решения прямой задачи, и она, очевидно, должна рассматриваться как часть систематической погрешности . Эта оценка обычно осуществляется либо из физических соображений (в этом случае обычно обосновывается возможность пренебречь неточным заданием параметров), либо путем численных экспериментов – решением прямой задачи при вариациях в пределах заданной точности значений U X [30]. Заметим, что возможности современных компьютеров открывают значительные перспективы в плане указанных численных экспериментов, например, можно варьировать сразу все компоненты U X методом статистического моделирования и, набрав репрезентативную выборку, получить достоверную оценку комплексного воздействия неопределенности задания всех U X на точность решения прямой задачи.

Говоря о разделении самих восстанавливаемых параметров X = U на анализируемые X⁽¹⁾ и не анализируемые X⁽²⁾, отметим, что такое разделение следует проводить только из соображений точности восстановления. А именно, можно не интересоваться восстановленными параметрами X⁽²⁾, если их апостериорная дисперсия близка к априорной. Однако и такая рекомендация весьма условна, поскольку для некоторых физических величин даже незначительное уточнение их значений может оказаться весьма актуальным. Нередко же X⁽¹⁾, выбирают исходя из “задачи, поставленной при проведении измерений”, в результате чего в “мусорную корзину” – X⁽²⁾, – оказываются выброшенными ценнейшие данные. Так, например, в [30] при наземных измерениях прозрачности атмосферы в ИК области спектра анализируется только возможность и точность получения общего содержания поглощающих излучение газов. В то же время в качестве восстанавливаемого параметра в этой методике фигурирует произведение солнечной постоянной, чувствительности прибора и аэрозольного ослабления, что, учитывая плавный спектральный ход первых двух, могло бы дать интересную информацию о спектре аэрозольного ослабления в ИК области.

Часть восстанавливаемых параметров по физическому смыслу являются вертикальными профилями (например, температуры или концентрации газов). Возникает вопрос описания этих профилей конечным набором параметров. Здесь используются два приема: аппроксимация профиля дискретной высотной сеткой и аппроксимация профиля некоторой функцией. Фактически оба метода эквивалентны, поскольку любая дискретная сетка предполагает интерполяцию на промежуточные высоты, что и осуществляется определенной функцией. Однако в плане практического применения эти приемы желательно разделить.

При аппроксимации профиля высотной сеткой, очевидно, чем меньше шаг по высотам, тем точнее приближение. В рамках эталонных алгоритмов проблем с выбором сетки не возникает. В алгоритмы следует закладывать возможность задания практически сколь угодно подробной сетки. Однако при проектировании рабочего алгоритма, чем меньше точек в сетке – тем меньше восстанавливаемых параметров, следовательно, тем меньше время обработки данных. Поэтому возникает задача выбора оптимальной высотной сетки, обеспечивающей максимальную точность аппроксимации профиля при минимуме точек. К сожалению, в плане теоретическом, эта задача фактически не исследована. Поэтому при выборе оптимальной сетки приходится использовать различные эмпирические подходы. В частности, при выборе высотной сетки для рабочего алгоритма, нами использовался следующий прием.

Запишем, используя линейный член ряда Тейлора, вариации вычисляемых величин через вариации восстанавливаемых компонент:

где x_k – профиль восстанавливаемого параметра, вариации x_k соответствуют априорным СКО. Для каждого высотного уровня k исходной предельно подробной сетки вычислялся соответствующий член . Исключение уровня соответствует замене его производной на среднее арифметическое двух соседних уровней, а для последнего уровня (верхней границы атмосферы) – замене ее на ноль. Уровни упорядочиваются по возрастанию  и последовательно исключаются, пока вызванная этим максимальная по всем i вариация y_i остается меньше заданной. Параметр останова исключений, очевидно, связан с погрешностью измерений y_i, конкретно мы использовали треть СКО. Заметим, что при указанной процедуре для вертикальных профилей разных параметров получаются существенно разные сетки (и даже верхние границы атмосферы), но, практически удобно использовать все же единую, получающуюся объединением индивидуальных. Нередко вертикальную сетку выбирают без описанных выше тонкостей, просто аналогичной стандартным моделям атмосферы, данным радиозондирования и т.п., без оценки точности такого выбора, что, по нашему мнению, является методически некорректным.

Вторая аппроксимация профиля – некоторой функцией, применяется, как правило, в алгоритмах оперативной обработки данных, поскольку позволяет многократно уменьшить число восстанавливаемых параметров. Обычно функцию аппроксимации строят по средним, стандартным, приведенным в литературе профилям. При этом, однако, необходимо провести анализ ее точности по эталонному алгоритму с максимально подробной сеткой [30].

Существенной особенностью обратных задач коротковолновой области спектра является необходимость восстановления оптических параметров атмосферного аэрозоля. Объемные коэффициенты аэрозольного рассеяния и поглощения помимо высоты зависят еще и от длины волны, поэтому возникает задача параметризации не только высотной, но и спектральной их зависимости. В некоторых частных задачах в этом случае также удается описать указанную спектральную зависимость функцией с малым числом параметров [31]. Однако в качестве общего случая на данном этапе следует рассматривать задание спектральной зависимости в виде сетки по длинам волн. Формально, с выбором такой сетки нет проблем – надо, очевидно, использовать длины волн, на которых представлены обрабатываемые измерения потоков или интенсивностей. Для эталонных алгоритмов только так всегда и следует поступать. Однако при переходе к рабочему алгоритму вновь возникает описанная выше проблема оптимизации сетки по длинам волн. Для выбора такой сетки, аналогично описанному выше алгоритму, вновь производные по объемным коэффициентам аэрозольного ослабления и рассеяния на исключаемых длинах волн заменялись интерполированными значениями (на всех высотах). Точка спектральной сетки исключалась, если максимальная вариация измеряемых величин при такой замене не превышает заданной точности. Очевидно, что сначала следует определить спектральную сетку, а затем, на всех оставшихся длинах волн – высотную. Совершенно аналогично выбиралась спектральная сетка для альбедо поверхности.

Особенно сложной задачей выбора конкретного набора восстанавливаемых параметров в коротковолновой области спектра является параметризация аэрозольной индикатрисы рассеяния. Необходимость решения этой задачи опять же связана с минимизацией числа параметров рабочего алгоритма. Действительно, восстанавливать индикатрису, в дополнение к таблицам зависимости от высоты и длины волны, еще и как таблично заданную функцию угла рассеяния просто технически невозможно. Поэтому следует описывать зависимость аэрозольной индикатрисы рассеяния от угла рассеяния малым числом параметров. Примером такой параметризации может служить функция Хэньи-Гринстейна (1.2.20). Но, как отмечалось в разделе 1.2, эта функция с довольно низкой точностью описывает реальные индикатрисы. К сожалению, все попытки подобрать подобную функцию, имеющую мало параметров и достаточно точно описывающую любые аэрозольные индикатрисы, к настоящему времени успехом не увенчались. Поэтому погрешность параметризации аэрозольной индикатрисы остается одним из мощных и “неустранимых” источников систематических ошибок при разработке рабочих алгоритмов решения обратных задач атмосферной оптики в коротковолновой области спектра. Конкретный использованный при обработке зондировок выбор параметризации мы обсудим в разделе 5.1. Заметим еще, что различные измеряемые характеристики излучения реагируют на точность параметризации индикатрисы по-разному. Так, в условиях безоблачной атмосферы, поток, являясь интегралом по полусфере, существенно слабее связан с формой индикатрисы рассеяния, чем интенсивность, которая фактически ей прямо пропорциональна (например, в приближении однократного рассеяния). Поэтому неадекватность параметризации индикатрисы является наиболее серьезным препятствием при интерпретации спутниковых измерений рассеянного солнечного излучения в безоблачной атмосфере.

Помимо прочих перечисленных проблем, общей трудностью решения обратных задач атмосферной оптики является возможная неоднозначность полученных результатов. Действительно, в нелинейном случае искомый минимум невязки может быть и неединственным. В качестве анализа указанной ситуации используются численные эксперименты, которые при наборе определенной статистики их результатов позволяют сделать вывод о единственности решения обратной задачи.

В численных экспериментах первого типа изучается зависимость решения обратной задачи от вариаций измерений в пределах случайного СКО, для чего решается прямая задача с определенными значениями параметров, затем, методом статистического моделирования на основе известного СКО измерений полученное решение искажается случайной погрешностью, для него решается обратная задача и ее результат сравнивается с исходными значениями параметров. Если в результате достаточного числа статистических испытаний решение обратной задачи совпадает с заданными исходно параметрами, можно сделать вывод (и оценить его доверительную вероятность), что случайная погрешность измерений не приводит к неоднозначности решений. Особенно удобно для подобных численных экспериментов решать прямую задачу методом Монте-Карло, так как он позволяет легко моделировать результаты решения именно как случайные величины (см. п.2.1).

Поскольку случайная погрешность измерений, как правило, невелика, значительно серьезнее может сказаться на неоднозначности решения неопределенность в выборе нулевого приближения при решении нелинейных обратных задач. Поэтому необходимы численные эксперименты второго типа, где исследуется зависимость решения от выбора нулевого приближения, причем вариации этого приближения следует брать максимально возможными [29]. Для экономии времени имеет смысл объединить эксперименты первого и второго типов, т.е. одновременно моделировать и случайную погрешность измерений, и неопределенность задания нулевого приближения. Именно такой подход к общему рассматриваемому классу задач был применен в [17], а для конкретной рассматриваемой задачи обработки результатов зондировок – в процессе тестирования компьютерных кодов. При этом однозначность решения сохранялась при вариации нулевого приближения в пределах трех априорных СКО параметров. Заметим, что такой комплексный подход к проведению численных экспериментов, с учетом возможностей современных ЭВМ, открывает широкие перспективы [30]. В частности, можно статистически варьировать всю совокупность параметров прямой задачи, нулевое приближение, априорную ковариационную матрицу, и т.п. В конечном счете, при наборе достаточной статистики таких комплексных численных экспериментов, можно оценивать точность решения обратных задач непосредственно, минуя упрощающие ситуацию формулы типа (4.3.14).