Выше, в главах 1 и 2, мы показали, как, задав определенные параметры атмосферы и поверхности (объемные коэффициенты рассеяния и поглощения, индикатрису рассеяния, альбедо поверхности), можно решить задачу расчета величин потоков и интенсивностей солнечного излучения. С другой стороны, в главе 3 приведены результаты экспериментальных измерений этих величин. Естественно возникает задача подбора таких параметров атмосферы и поверхности, которые затем при расчетах дадут значения измеренных величин. Задачи первого типа, т.е. расчет измеряемых величин по заданным параметрам атмосферы и поверхности, другими словами, задачи математического моделирования измерений, являются прямыми задачами атмосферной оптики. Задачи второго типа, т.е. определение параметров атмосферы и поверхности по результатам экспериментальных измерений радиационных характеристик, являются обратными задачами атмосферной оптики.

Решение прямой задачи фактически подразумевает построение математической модели измерений, в основу которой часто кладут физические представления о процессах взаимодействия излучения с атмосферой и поверхностью (см. главу 1). В дальнейшем договоримся рассматривать только задачи, основанные именно на указанных физических принципах. Подчеркнем два важных для дальнейшего изложения обстоятельства.

Во-первых, выбор физических, а следовательно, и соответствующих им математических моделей указанных процессов неоднозначен. Действительно, при математическом описании конкретных физических процессов неизбежны различные идеализации, упрощения и приближения, поэтому любая модель проще реальности и в какой-то степени неадекватна ей. Отсюда следует, что выбор конкретной модели и ее параметров всегда неоднозначен, он определяется как физическими процессами, закладываемыми в модель, так и степенью приближенности описания этих процессов. Например, если рассматривать только непосредственно перенос излучения, то параметрами модели будут оптическая глубина, альбедо однократного рассеяния, индикатриса рассеяния (см. раздел 1.3). Можно учесть процессы взаимодействия излучения с веществом, определяющие указанные величины (см. раздел 1.2), тогда параметрами модели будут вертикальные профили давления, температуры, концентраций поглощающих излучение газов и объемных коэффициентов аэрозольного рассеяния и поглощения.

Во-вторых, число параметров, которыми в рамках выбранной модели описываются указанные процессы всегда конечно. С точки зрения технической реализации модели это утверждение совершенно очевидно и не требует комментариев. Но, с другой стороны, всегда конечно и число измеряемых величин. Действительно, даже если измеряется непрерывный спектр потока или интенсивности излучения, реально он представляется как конечная совокупность значений измеряемых характеристик (см. раздел 3.1). Опять же технически, вследствие оцифровки выходного сигнала прибора, иначе быть не может.

Таким образом, не снижая общности, можно утверждать, что решение прямой задачи – это алгоритм, позволяющий по жестко определенному конечному набору параметров вычислять опять же жестко определенный конечный набор величин. Математически это можно записать в виде формального соотношения

= G(U),

(4.1.1)

где (_i), i = 1,…N – совокупность, т.е. вектор, вычисляемых величин, соответствующих реальным N измерениям; G – оператор решения прямой задачи, т.е. реализация некоторой, как подчеркивалось выше, конкретно выбранной, математической модели процесса измерений; U=(u_j), j=1,…,M – вектор параметров (данной конкретной) модели. Компоненты векторов  и U в общем случае могут быть неоднородными, т.е. иметь различный смысл и различные единицы измерений (для U реально это всегда так). Заметим, что в вектор U включаются все необходимые для решения прямой задачи параметры (не только атмосферы и поверхности, но и зенитный угол Солнца, значение нисходящего потока на верхней границе атмосферы, спектроскопические параметры, если вычисляется объемный коэффициент молекулярного поглощения (см. раздел 1.2) и т.д..), а вот в вектор  входят только результаты непосредственных измерений.

Формальной постановкой обратной задачи является определение, в атмосферной оптике принято говорить – восстановление компонентов вектора параметров U по заданным конкретным значениям вектора результатов измерений Y. Однако не все входящие в вектор U параметры имеет смысл восстанавливать. Действительно, часть параметров U, например зенитный угол Солнца, при измерениях известна (точнее, полагается известной). Поэтому выделим из компонентов вектора U вектор X(x_k), k=1,…,K, который только и подлежит восстановлению. Подробнее варианты такого выбора рассмотрены в статье [1], где по этому признаку – типу известных и подлежащих восстановлению параметров – предложена классификация обратных задач атмосферной оптики. Мы еще вернемся к этой теме выбора в разделе 4.3, а пока будем считать, что конкретные параметры, входящие в X, заданы. Теперь соотношение (4.1.1) можно переписать в виде

(X) = G(X,UX),

(4.1.2)

где UX – совокупность компонентов вектора U, не входящих в X, т.е. известные параметры прямой задачи. Заметим, что G(U)=G(X,UX), т.е. решение прямой задачи никак не может зависеть от того, какие именно параметры считаются подлежащими восстановлению.

Обратную задачу теперь можно сформулировать как нахождение X из уравнения

G(X, UX)=Y .

(4.1.3)

Однако в общем случае система (4.1.3) может и не иметь решений. Действительно, как мы отмечали выше, оператор прямой задачи G является лишь приближением к реальности, но даже если предположить, что он абсолютно точно ее отражает, то все равно сам вектор Y неадекватен реальности вследствие неизбежного наличия случайных и систематических погрешностей измерений. Поэтому множество возможных значений решения прямой задачи (X) может и не совпадать с множеством возможных значений результатов измерений Y. Причем возможность отсутствия решения уравнений (4.1.3) весьма вероятна даже в простейшем случае, когда оператор G линеен. Этот факт связан с общими свойствами абстрактных линейных операторов (см., например монографии [2,3]), однако в нашем варианте постановки обратной задачи он очевиден: достаточно рассмотреть случай, когда измерения yi линейно независимы и их число больше числа восстанавливаемых параметров (M > K), тогда система линейных уравнений (4.1.3) неразрешима. Поэтому в общем виде обратную задачу атмосферной оптики можно сформулировать следующим образом: найти набор параметров прямой задачи, при котором ее решение будет наиболее близким к результатам измерений т.е., в математической формулировке, приведенной в монографии [2], найти величину X, при которой достигается минимум:

(4.1.4)

 где T – множество допустимых решений, (…) – некоторая мера расстояния в пространстве векторов измерений – метрика (подробнее см. в монографии [3]). Заметим, что в частных случаях указанный минимум может быть равен нулю, т.е. может иметь место и точное выполнение соотношения Y=G(X,UX).

Существенным фактором, который необходимо учитывать при решении обратных задач, является погрешность измерений. Подробнее мы рассмотрим связанные с этим вопросы в следующих разделах, а пока лишь констатируем, что вследствие ее наличия искомые параметры X также будут определяться с некоторой погрешностью. Таким образом, учет погрешности измерений является неотъемлемым и важным этапом решения обратных задач атмосферной оптики. Кроме того, поскольку в основе решения обратных задач лежит сравнение результатов измерений и решений прямой задачи, обратные задачи решаются с точностью, определяемой погрешностью подбора параметров выбранной модели, т.е. определяются конкретным выбором оператора G. Отсюда следует, что этап выбора методов решения прямой задачи является важнейшей составляющей решения задачи обратной. Кроме того, как мы отмечали выше, в любом случае оператор решения прямой задачи неизбежно является приближенным, следовательно, необходим учет влияния на результаты и этого приближения.

Резюмируя, можно предложить следующую общую схему численного решения обратных задач атмосферной оптики:
1. Изучение современной теории физических процессов, формирующих измеренные величины.
2. Выбор конкретной математической модели измерений и ее параметров, реализация модели на ЭВМ.
3. Анализ точности решения прямой задачи.
4. Разделение параметров математической модели на считающиеся известными и подлежащие восстановлению.
5. Выбор метода решения обратной задачи. Оценка точности ее решения.
6. Реализация алгоритма решения обратной задачи на компьютере.
7. Обработка результатов измерений, их анализ и интерпретация.

Ниже, применительно к конкретным обратным задачам, мы обсудим все из перечисленных этапов, за исключением первого, которому была посвящена гл. 1. При этом, однако, будет удобно вести изложение в ином порядке, чем в приведенной последовательности. Заметим, что, во-первых, описанная схема предложена по результатам уже выполненных измерений, такую актуальную задачу, как оптимальное планирование экспериментов, мы не будем затрагивать. Во-вторых, на практике приведенный “алгоритм” часто имеет более сложную логику, в частности, возможны возвраты к уже пройденным этапам с целью уточнения моделей и модернизации вычислительных методов. Так, стандартной ситуацией при обработке экспериментальных оптических измерений в атмосфере является наличие даже многих, последовательно “выпускаемых” версий полученных результатов, приведенных в работах [4-6]. В сущности, этот факт хорошо известен экспериментаторам: результаты большинства натурных измерений нельзя обработать “до конца”, всегда остается нечто, что можно улучшить.

В нашу задачу не входит даже общий обзор огромного разнообразия современных обратных задач атмосферной оптики и методов их решения. Как отмечалось выше, определенная классификация таких задач приведена в статье [1], что же касается методов решения, то для них какая-либо классификация пока не предложена. В этой книге мы ограничимся только конкретными обратными задачами восстановления параметров атмосферы и подстилающей поверхности по результатам самолетных и спутниковых измерений спектральных потоков и интенсивностей солнечного излучения в атмосфере, рассмотренных в гл.3. Здесь выделяются два существенно различных случая: безоблачная атмосфера и сплошная облачность.

В случае сплошной облачности удается получить явное аналитическое решение обратной задачи, т.е. записать искомые компоненты вектора X через результаты измерений Y в виде явных аналитических выражений. Причем указанные выражения – не эмпирические формулы, которыми часто пользуются при решении обратных задач, а следствия строгих соотношений теории переноса излучения. Заметим, что получение подобных соотношений для обратной задачи атмосферной оптики является достаточно редким случаем на фоне современного повального увлечения численными решениями подобных задач на ЭВМ. По существу оно находится в соответствии с духом философских традиций физики, согласно которым предпочтение всегда отдавалось аналитическим методам описания явлений природы.

Из результата работы [7], посвященной математическим аспектам теории обратных задач, следует, что если решение обратной задачи представляет ограниченное множество непрерывных функций¹ (а аналитическое решение обратной задачи представляет собой ограниченное множество), то оно устойчиво. В монографии [8] показано, что анализ робастности (устойчивости решения) обратной задачи в ограниченном классе функций сводится к установлению промежутков непрерывности функций, описывающих решение, как следует из теорем П.Л. Чебышева об устойчивости решения в базисе полиномов и теоремы Вейерштрасса о существовании равномерного предела (сходящегося к решению) в пространстве непрерывных функций. В случае аналитического представления решения, его исследование на непрерывность не представляет большой сложности. При последующем подробном рассмотрении возможностей аналитических методов будут приведены соответствующие результаты. Выводу указанных аналитических соотношений будет посвящена гл. 6, а анализу результатов обработки измерений в облачной атмосфере – гл. 7.

К сожалению, для безоблачной атмосферы подобного аналитического решения получить не удалось. Это можно понять, исходя из общих принципов: вариант сплошной облачности, в котором измеряется только рассеянная радиация, как и вариант чистой безоблачной атмосферы, при котором возможно учитывать только прямую радиацию (при этом варианте оптическая глубина атмосферы элементарно определяется из закона Бугера), являются предельными случаями очень сильного рассеяния и его полного отсутствия; реальная же безоблачная атмосфера – промежуточный по “силе” рассеяния случай, а промежуточные случаи обычно всегда сложнее предельных. Поэтому при обработке вертикальных профилей спектральных потоков, описанных в гл. 3, обратная задача ставилась как задача численного подбора параметров, удовлетворяющих сформулированному выше требованию минимума Поиск минимума (4.1.4) является собственно уже не физической, а математической задачей. Поэтому далее в этой главе ее решение будет рассматриваться уже с математических позиций, естественно, с учетом физических факторов и погрешности их измерений. Собственно решение обратной задачи для измерений потоков в безоблачной атмосфере и его результаты будут описаны в главе 5.

Прежде чем приводить конкретные формулы и алгоритмы поиска минимума (4.1.4), отметим, что нередко математические аспекты решения указанной задачи излагаются в весьма абстрактном виде [9] (исходя из методов вариационного исчисления и теории самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве [3,10]). Это иногда создает сложности при практическом применении абстрактных соотношений, к тому же они воспринимаются как формальные “рецепты” решения задач, лишенные реального физического смысла. Кроме того, при таком изложении за его пределами остается такой немаловажный вопрос, как выбор математической модели для решения прямой задачи, ее конкретных параметров и влияния их на решение обратной задачи. Наш опыт решения обратных задач атмосферной оптики показывает, что, наряду с владением формальными математическими методами и алгоритмами, немаловажную роль играет и понимание физического смысла используемых соотношений. Поэтому мы попытаемся изложить указанные математические методы не с абстрактных, а с прикладных позиций, предельно просто, не брезгуя обсуждением даже некоторых чисто технических аспектов их реализации. Для понимания такого изложения вполне достаточно знания основ линейной алгебры [11] и математической статистики [12]. Отметим, что для осмысления и анализа описываемых методов очень удобно рассматривать их применительно к задачам минимальной размерности (одномерным и двумерным).

Излагаемая ниже методика не является единственно возможным способом поиска указанного минимума (4.1.4). В сущности, поставленная задача относится к классу математических экстремальных задач, разнообразные методы, решения которых в настоящее время хорошо известны [13]. На практике, например, нередко для поиска решения используется такой элементарный прием, как перебор конечного числа вариантов вектора X [14]. Однако излагаемая ниже методика является математически безупречной и, что очень важно, позволяет корректно учесть погрешность измерений. С учетом выросших возможностей современной вычислительной техники ее применение для решения обратных задач атмосферной оптики становится все популярнее.

Начнем изложение с определения расстояния между векторами. Для этого используем здесь и далее стандартную евклидову метрику [3], т.е. примем, что:

(4.1.5)

Смысл евклидовой метрики (4.1.5) – среднеквадратическое отклонение (СКО) двух векторов, т.е. с точки зрения физики нас интересует близость результатов измерений и решения прямой задачи в среднем по всему набору измерений i=1,…,N. Выбор именно такой метрики предопределен тем, что только с ее помощью удается построить реальные алгоритмы поиска ее минимума. Если, например, интересоваться не средней, а максимальной по всем точкам разницей между результатами измерений и расчетов, описываемый ниже путь становится непроходимым.

Расстояние между измеренными и рассчитанными значениями R (Y,G(X,UX)) принято называть невязкой. Таким образом, окончательно сформулированную обратную задачу можно определить как нахождение по известному вектору измерений Y значений компонентов вектора X, соответствующих минимуму невязки

(4.1.6)

Сформулированная таким образом задача определения искомых параметров составляет суть метода наименьших квадратов (МНК), предложенного еще Гауссом. Последовательному освещению МНК, его особенностей и модификаций посвящен следующий раздел.

¹В формулировке А.Н.Тихонова употреблен термин «непрерывное отображение в компактном пространстве», что является более общим понятием