В настоящей главе выше были приведены асимптотические формулы теории переноса радиации, полученные с применением строгих математических методов. Необходимо иметь в виду, что асимптотические формулы тем точнее описывают поле радиации внутри и на границах слоя, чем больше оптическая толщина и меньше истинное поглощение, при этом наблюдается сильная зависимость точности результата от степени анизотропии рассеяния (в нашем случае от величины параметра g). Некоторые математические аспекты, связанные с оценкой области применимости асимптотических формул для коэффициентов отражения и пропускания (,,₀) и (,,₀) исследованы в работах , . Точность формулы для (,,₀) оказалась не меньше точности формулы для (,,₀). Общий вывод таков: асимптотические формулы для отраженной и пропущенной радиации имеют погрешность ~ 2%, начиная с ₀ 4/(1 - k). Численная проверка точности формул для сферического альбедо и пропускания (значения отраженного и пропущенного потоков проинтегрированных по зенитному углу) была выполнена для широкого набора параметров в работе , где показано, что при 2 и ₀  0,7 погрешность результатов расчета интегральных по зенитному углу радиационных характеристик (сферического альбедо и интегрального пропускания) не превышает 5%.

В работе был проведен соответствующий анализ для потоков радиации, основанный на сравнении результатов расчетов с использованием асимптотических формул и метода сложения слоев. Область применимости асимптотических формул для расчета отраженного потока радиации и для лучистого притока тепла представлена на рис. 2.2 а,б. Кривые на рис. 2.2 соответствуют уровню погрешности 5%. Рассмотрены значения параметра индикатрисы рассеяния g = 0,5; 0,75 и 0,9 и два значения косинуса зенитного угла = 1 и 0,5. Результат расчета пропущенного потока радиации подобен результату, показанному на рис. 2.2 для отраженного потока.

Численный анализ области применимости асимптотик для расчета интенсивности радиации в оптически толстом слое проведен в откуда следует, что область применимости асимптотик при расчете интенсивности ( > 15; ₀ > 0,99), ограничена сильнее, чем при расчете потоков ( > 7; ₀ > 0,9), которая, в свою очередь, меньше, чем для интегральных по зенитному углу Солнца характеристик (> 2; ₀ > 0,8).

Рисунок 2.1. Область применимости асимптотических формул теории переноса излучения при расчете отраженного потока (а) и лучистого притока (б) радиации к слою. Кривые соответствуют уровню относительной ошибки 5%. Сплошная линия - параметр индикатрисы g=0,5; штриховая - g=0,75 и штрих-пунктирная линия - g=0,9; кривые, отмеченные кружками соответствуют =1, крестиками - =0,5.

Таблица 2.5.

Погрешности расчета функции u(),

Точность асимптотических разложений (2.2.6) и (2.2.7) определяется отбрасываемыми слагаемыми в соответствующих суммах и пропорциональными s³ или s⁴. Точность аппроксимаций, была проверена сравнением со значениями функций, рассчитанными численными методами и представленными в , . Для функции u(), рассчитанной с применением аппроксимаций (2.2.8) относительные погрешности приведены в табл.2.5. Оказалось, что погрешности малы вплоть до ₀ =0,98 при слабо вытянутой индикатрисе рассеяния (g = 0,5) и z > 0,2, при этом погрешность расчета функции u() не превышает 6%.

Сравнение результатов расчета (,) с учетом коэффициентов ₂(,) и ₃(,) разложения (2.2.7), полученных выше, с результатами, полученными строгим численным методом в работе , показали погрешности приведенные в таблице 2.6. Выражения для коэффициентов ₂(,) и ₃(,) (2.2.8) позволяют рассчитывать соответствующие величины с малой погрешностью вплоть до значений ₀ = 0,9. Таким образом, вычисление интенсивности солнечной радиации в видимом диапазоне спектра, отраженной от облачного слоя можно проводить на основе аналитических формул, что важно при интерпретации спутниковых наблюдений. При проверке формул принимались табличные значения функции ₀(,), полученные в на основе численных методов расчета.

Точность и область применимости формул для потоков радиации в случае слоя произвольной оптической толщины оценивались из сравнения результатов расчета потоков, выходящих из слоя произвольной оптической толщины с применением формул (2.5.1) – (2.5.3) с результатами расчетов, выполненных с использованием методов: сложения слоев, дельта-Эддингтона, и Монте-Карло. При этом был проанализирован широкий набор переменных ₀ = 0,1 – 5,0; ₀ = 0,99 – 0,9999 и g = 0,25 – 0,75 . Оказалось, что результаты всех 4-х методов совпадают с отклонением от 0,01 до 5% не зависимо от величин ₀, ₀ и g. Таким образом, можно полагать, что все просмотренные значения оптических параметров с погрешностью меньшей 5% попадают в область применимости формул, полученных в работах [19,20]. Для слабо вытянутой индикатрисы рассеяния (g 0,5) погрешность оказалась менее 1% .

Точность расчета радиационных характеристик по формулам (2.3.1) – (2.3.4) для многослойной облачности была проверена для случаев _i = 5; 7; 10, g_i = 0,65; 0,75; 0,85 и _0i = 0,99; 0,995; 0,999 сравнением с результатами расчета с помощью метода сложения слоев. Оказалось, что, если оптическая толщина подслоев удовлетворяет условию _i 7, погрешность результатов расчета радиационных характеристик на границах слоев не превышает 1-2% для всех рассмотренных случаев, при _i < 5 погрешность составляет более 10%.

Таблица 2.6.

Погрешности расчета функции (,) с применением асимптотического разложения (2.2.7) и формул (2.2.14)